La Matematica della Tastiera

Chi non si è mai chiesto perchè la dimensione dei tasti varia man mano che ci spostiamo verso il ponte della chitarra, e poi in base a che cosa varia questa dimensione, ed infine, quanto è importante la precisione con la quale viene realizzato lo strumento?

Proveremo a rispondere a tutte le domande anche se questa volta sarà necessario introdurre un paio di concetti che, sebbene all'apparenza potrebbero non avere nulla a che vedere con il mondo della chitarra, sono invece estremamente importanti per comprendere cosa c'è dietro la dimensione dei tasti.

Iniziamo con i Cent

In ambito musicale, il Cent è un sistema convenzionale basato sui logaritmi, ideato per rappresentare in modo equidistante gli intervalli musicali. Cosa significa?

Sappiamo che ad ogni nota corrisponde una sua frequenza ben precisa espressa in Hertz.

Il ben noto LA4 corrisponde a 440 Hz, il LA2 - che troviamo nell'accordatura standard della chitarra - corrisponde invece a 110 Hz. Secondo questa regola, è intuitivo comprendere che le frequenze delle note, col crescere delle ottave, aumentano in modo esponenziale: per fare l'esempio del LA, abbiamo LA1 = 55 Hz, LA2 = 110 Hz, LA3 = 220 Hz, LA4 = 440 Hz, LA5 = 880, e così via

Per rappresentare gli intervalli musicali, ossia gli intervalli tra una nota e quella successiva, in modo più agevole, è stato individuato un sistema basato su una rappresentazione logaritmica la cui unità di misura è il Cent (o anche CST).

Se la funzione esponenziale fa aumentare sempre più il numero che rappresenta ciascun intervallo (ricordate? 55, 110, 220, 440, 880, etc.), la funzione logaritmica rende invece questi intervalli uguali: non importa quale sia l'ottava di riferimento, sappiamo che la distanza tra una nota e l'altra varrà sempre 100 Cent.

Possiamo definire quindi il Cent come la centesima parte di un semintono equabile, oppure come la milleduecentesima parte (1/1200) di un'ottava (cioè la distanza tra due suoni aventi frequenza doppia, tipo il LA2 che ha frequenza 110 Hz e il LA3 che ha frequenza 220 Hz.

E' importante comprendere che i Cent specificano solo la distanza tra due note ma non la loro frequenza. Difatti, è possibile operare calcoli tra frequenze (in Hz) e cent a patto che abbiamo una frequenza di riferimento:

• se abbiamo un'altra frequenza da confrontare, possiamo calcolarne la distanza in Cent

• se abbiamo i Cent di disatnza, possiamo calcolare la frequenza corrispondente a tale distanza

La seguente formula permette infatti di calcolare la distanza in Cent tra la frequenza di riferimento (f1) e la frequenza da confrontare (f2). Se ad es. la frequenza da confrontare (f2) è il doppio di quella di riferimento (f1), il risultato del calcolo sarebbe proprio 1200, ossia la distanza in Cent che c'è tra le ottave.

Con la seguente formula invece, avendo una frequenza di riferimento (f0) e la distanza in Cent (c), è possibile calcolare la frequenza (f) corrispondente a tale distanza.

Anche in questo caso, se la frequenza di riferimento fosse 110 Hz e i Cent di distanza 1200, avremmo che la frequenza corrispondente a tale distanza sarebbe 110 * 2, ossia 220 Hz.

Facciamo un esempio utilizzando quest'ultima formula: calcoliamo la frequenza del DO3.

Sappiamo che esso si trova a tre semitoni di distanza dal LA2, la cui frequenza è ben nota = 110 Hz.

Tra il LA2 e il DO3 vi sono 3 semitoni (LA2#, SI2, DO3) che equivalgono a 300 Cent (c = 300).

La formula diventa f = 110 x 2 elevato a 300/1200.

2 elevato a 300/1200 equivale a circa 1,1892, che moltiplicato per 110, equivale a 130,8127.

Possiamo affermare con matematica certezza che il DO3 corrisponderà a circa 130,81 Hz.

Nel testo "What is specific to music processing? Insights from congenital amusia" di Isabelle Peretz e Krista L. Hyide, è riportato che genericamente l'essere umano riesce a percepire variazioni non inferiori a 25 cent (amusici a parte che, come riportato nel testo, a causa di questo disturbo non possono distinguere differenze anche di 100 Cent, ossia di note vere e proprie).

Passiamo al Temperamento Equabile

Altro concetto fondamentale per comprendere la variazione del dimensionamento dei tasti è il Temperamento Equabile, ossia il sistema di accordatura (ideato già nel IV sec. a.c.) adottato come standard al giorno d'oggi.

Tale sistema di accordatura prevede l'utilizzo di un sistema di "rettifica" (o "temperamento") degli intervalli tra le note al fine di poter suddividere un ottava in dodici intervalli tra di loro uguali (perciò equabile) in termini di cent: ogni nota dista difatti 100 cent dalla precedente e dalla successiva.

Sebbene altre accordature, come quella basata sulla scala naturale o sulla scala pitagorica, contemplino l'intervallo di ottava come 1200 cent (quindi anche esse ammettono 12 note all'interno di un'ottava), la differenza tra le note non è uguale, causando non pochi dilemmi in fase di intonazione di uno strumento in caso di cambio di tonalità.

La tabella seguente mostra una comparazione tra i rapporti di frequenze del temperamento equabile con la scala naturale; è immediato individuare le variazioni in cent, seppur piccole, della scala naturale rispetto quella equabile che invece è costante (sempre 100) per ogni spostamento di semitono.

Tutto molto bello, ma la Tastiera?

E' vero, ma era necessario introdurre i concetti di Cent e di temperamento equabile per comprendere a pieno il motivo dietro la dimensione dei tasti sulla tastiera della nostra chitarra.

Il costrutto matematico prevede che, partendo dalla corda a vuoto, ogni tasto accorci la lunghezza vibrante della corda in modo tale che il suono aumenti di un semitono (ossia 100 cent).

La formula che sottende al calcolo è abbastanza semplice, di seguito riportata, e mette in relazione la distanza del tasto dal capotasto (d), il numero del tasto (n) e la lunghezza della scala della chitarra (L) - ossia la lunghezza totale della corda dal capotasto alla selletta del ponte. In generale, possiamo affermare che Il valore chiave in questa formula è il valore 2 elevato ad 1/12 (circa 1,05946), che rappresenta il rapporto tra due toni successivi nella scala equabile.

Questa formula ci dice che, per calcolare la distanza (d) del tasto (n) dal capotasto (punto 0) è fondamentale conoscere la lunghezza totale della corda (L), e sottrarre da essa il rapporto tra la lunghezza stessa e 2 elevato al numero del tasto diviso 12.

Facciamo un esempio: vogliamo calcolare in millimetri a che distanza dal capotasto si trova il tasto XII su una chitarra con scala 25,5" (tipo Fender), dove la distanza tra capotasto e selletta del ponte è di 648mm.

Il calcolo è semplicissimo perchè 2 elevato a 12/12 fa due, dunque 648 - (648/2) = 324.

E infatti, sappiamo che al tasto XII si ripetono le stesse note delle corde a vuoto ma di un'ottava superiore. Quindi, con una corda che è metà lunghezza rispetto quella a vuoto otteniamo il doppio della frequenza di ciascuna nota.

Quindi, possiamo affermare che la posizione dei tasti sulla tastiera viene costruita calcolando a che distanza dal capotasto deve deve trovarsi ciascun tasto. Come prima calcolato, il tasto XII si troverà sempre a metà strada tra il capotasto e le sellette del ponte.

Impatto sulla Costruzione

La precisione nella posizione dei tasti è fondamentale per mantenere l'intonazione corretta. Anche piccoli errori possono influenzare la precisione dell'accordatura, specialmente quando si suona in posizioni alte. Per questo motivo, i liutai utilizzano strumenti di misurazione accurati e talvolta software specializzati per posizionare i tasti con la massima precisione.

Il modello matematico dei tasti sulle tastiere delle chitarre è essenziale per garantire una corretta intonazione e suonabilità dello strumento. Conoscere questi principi aiuta sia i liutai che i musicisti a comprendere meglio la costruzione e il funzionamento della chitarra.

Se sei un liutaio o un appassionato di strumenti, prestare attenzione alla precisione della disposizione dei tasti può fare la differenza tra una chitarra mediocre e uno strumento perfettamente intonato.

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